نحوه رسم معادله درجه دوم: 10 مرحله (همراه با تصاویر)

2024 نویسنده: Robert Blare | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-02-02 02:06

هنگامی که رسم می شود ، معادلات درجه دوم فرم تبر² + bx + c یا a (x - h)² + k یک شکل U صاف یا یک شکل U معکوس به نام parabola بدهید. رسم نمودار معادله درجه یک ، یافتن راس ، جهت و اغلب ، قطعهای x و y آن است. در موارد معادلات درجه دوم نسبتاً ساده ، ممکن است محدوده ای از مقادیر x را وارد کرده و منحنی را بر اساس نقاط حاصله رسم کنید. برای شروع به مرحله 1 زیر مراجعه کنید.

مراحل

مرحله 1. تعیین کنید که کدام معادله درجه دوم را دارید

معادله درجه دو را می توان به سه شکل مختلف نوشت: شکل استاندارد ، فرم راس و شکل درجه دوم. شما می توانید از هر دو فرم برای رسم معادله درجه دوم استفاده کنید. روند رسم نمودار هر کدام کمی متفاوت است. اگر مشکلی را انجام می دهید ، معمولاً مشکل را به یکی از این دو شکل دریافت خواهید کرد - به عبارت دیگر ، نمی توانید انتخاب کنید ، بنابراین بهتر است هر دو را درک کنید. دو شکل معادله درجه دوم عبارتند از:

• فرم استاندارد.

  در این شکل ، معادله درجه دوم به صورت زیر نوشته می شود: f (x) = ax² + bx + c که a ، b و c اعداد واقعی هستند و a برابر صفر نیست.

  به عنوان مثال ، دو معادله درجه دوم استاندارد عبارتند از f (x) = x² + 2x + 1 و f (x) = 9x² + 10x -8

• فرم Vertex.

  در این شکل ، معادله درجه دوم به صورت زیر نوشته می شود: f (x) = a (x - h)² + k جایی که a ، h و k اعداد واقعی هستند و a برابر صفر نیست. فرم Vertex به این دلیل نامیده می شود که h و k مستقیماً راس (نقطه مرکزی) parabola خود را در نقطه (h ، k) به شما می دهند.

  دو معادله فرم راس f (x) = 9 (x - 4) هستند² + 18 و -3 (x - 5)² + 1

• برای رسم نمودار هریک از این نوع معادلات ، ابتدا باید رأس سهمی را که نقطه مرکزی (h ، k) در "نوک" منحنی است ، بیابیم. مختصات راس در شکل استاندارد توسط: h = -b/2a و k = f (h) ، در حالی که در شکل راس ، h و k در معادله مشخص شده است.

مرحله 2. متغیرهای خود را تعریف کنید

برای حل مسئله درجه دوم ، متغیرهای a ، b و c (یا a ، h و k) معمولاً باید تعریف شوند. یک مسأله جبری متوسط یک معادله درجه دوم با متغیرهای پر شده معمولاً به شکل استاندارد ، اما گاهی به صورت راس به شما می دهد.

• به عنوان مثال ، برای معادله فرم استاندارد f (x) = 2x² + 16x + 39 ، a = 2 ، b = 16 و c = 39 داریم.
• برای راس فرم معادله f (x) = 4 (x - 5)² + 12 ، ما a = 4 ، h = 5 و k = 12 داریم.

مرحله 3. h را محاسبه کنید

در معادلات فرم راس ، مقدار شما برای h قبلاً داده شده است ، اما در معادلات فرم استاندارد ، باید محاسبه شود. به یاد داشته باشید که برای معادلات فرم استاندارد ، h = -b/2a.

• در فرم استاندارد ما مثال (f (x) = 2x² + 16x + 39) ، h = -b/2a = -16/2 (2). با حل کردن ، می بینیم که h = - 4.
• در فرم راس ما مثال (f (x) = 4 (x - 5)² + 12) ، ما h = 5 را بدون انجام هیچ گونه ریاضی می دانیم.

مرحله 4. k را محاسبه کنید

همانطور که با h ، k در معادلات شکل راس از قبل شناخته شده است. برای معادلات فرم استاندارد ، به یاد داشته باشید که k = f (h). به عبارت دیگر ، می توانید k را با جایگزینی هر نمونه از x در معادله خود با مقداری که برای h پیدا کرده اید ، بیابید.

• ما در نمونه فرم استاندارد خود تعیین کرده ایم که h = -4. برای یافتن k معادله خود را با مقدار h جایگزین x حل می کنیم:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    مرحله 7

• در مثال فرم راس ما ، دوباره مقدار k (که 12 است) را بدون نیاز به انجام هرگونه ریاضی می دانیم.

مرحله 5. راس خود را ترسیم کنید

راس parabola شما نقطه (h ، k) خواهد بود - h مختصات x را مشخص می کند ، در حالی که k مختصات y را مشخص می کند. راس نقطه مرکزی در سهمیه شما است - یا پایین "U" یا بالای "U" وارونه. دانستن راس بخش مهمی در ترسیم یک سهمی دقیق است - اغلب ، در تکالیف مدرسه ، تعیین رأس جزء ضروری یک سال خواهد بود.

• در مثال فرم استاندارد ما ، راس ما در (-4 ، 7) خواهد بود. بنابراین ، Parabola ما به 4 فاصله در سمت چپ 0 و 7 فاصله در بالا (0 ، 0) می رسد. ما باید این نقطه را روی نمودار خود ترسیم کنیم ، حتماً مختصات را برچسب گذاری کنیم.
• در مثال فرم راس ما ، راس ما در (5 ، 12) است. ما باید نقطه 5 فاصله را در سمت راست و 12 فاصله را در بالا (0 ، 0) ترسیم کنیم.

مرحله 6. محور سهمی را ترسیم کنید (اختیاری)

محور تقارن یک سهمی خطی است که از وسط آن می گذرد و آن را کاملاً به نصف تقسیم می کند. در سراسر این محور ، سمت چپ این سه گوش ، سمت راست را منعکس می کند. برای درجه چهارم فرم تبر² + bx + c یا a (x - h)² + k ، محور خطی است موازی با محور y (به عبارت دیگر کاملاً عمودی) و از راس عبور می کند.

در مورد مثال فرم استاندارد ما ، محور خطی است موازی با محور y و از نقطه عبور می کند (-4 ، 7). اگرچه این بخشی از خود سهمی نیست ، اما علامت گذاری ملایم این خط بر روی نمودار شما می تواند در نهایت به شما کمک کند تا ببینید که چگونه منحنی parabola به صورت متقارن منحنی می شود

مرحله 7. جهت باز شدن را پیدا کنید

پس از فهمیدن راس و محور Parabola ، در مرحله بعد باید بدانیم که آیا Parabola به سمت بالا یا پایین باز می شود. خوشبختانه ، این آسان است. اگر "a" مثبت باشد ، سهمی به بالا باز می شود ، و اگر "a" منفی باشد ، سهمی به سمت پایین باز می شود (یعنی ، وارونه می شود).

• برای مثال فرم استاندارد ما (f (x) = 2x² + 16x + 39) ، ما می دانیم که یک سهمی به سمت بالا باز می شود زیرا در معادله ما a = 2 (مثبت).
• برای مثال فرم راس ما (f (x) = 4 (x - 5)² + 12) ، ما می دانیم که یک سهمی نیز داریم که به سمت بالا باز می شود زیرا a = 4 (مثبت).

مرحله 8. در صورت لزوم ، x رهگیری را پیدا کرده و رسم کنید

اغلب ، در هنگام انجام وظیفه مدرسه ، از شما خواسته می شود که ضربدری x یک سهمی (که یک یا دو نقطه ای است که در آن سهمی با محور x قرار می گیرد) را بیابید. حتی اگر آنها را پیدا نکنید ، این دو نکته برای ترسیم یک سهمی دقیق می تواند ارزشمند باشد. با این حال ، همه parabolas ها x-intercepts ندارند. اگر سهمی شما دارای یک راس به سمت بالا است و یک راس بالای محور x دارد یا اگر به سمت پایین باز می شود و یک راس زیر محور x است ، هیچ x رهگیری نخواهد داشت به در غیر اینصورت ، راه حل های x خود را با یکی از روش های زیر حل کنید:

• به سادگی f (x) = 0 را تنظیم کرده و معادله را حل کنید. این روش ممکن است برای معادلات درجه دوم ساده ، به ویژه در شکل راس کار کند ، اما برای معادلات پیچیده بسیار دشوار خواهد بود. برای مثال به تصویر زیر مراجعه کنید

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 و 13 برش های x سهمی هستند.

• معادله خود را در نظر بگیرید برخی از معادلات در تبر² فرم + bx + c را می توان به راحتی در فرم (dx + e) (fx + g) در نظر گرفت ، جایی که dx × fx = ax²، (dx × g + fx × e) = bx ، و e × g = c در این حالت ، x رهگیری شما مقادیری برای x است که هر دو عبارت را در پرانتز = 0 قرار می دهد. به عنوان مثال:

  • ایکس² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • در این حالت ، تنها x رهگیری شما -1 است زیرا تنظیم x برابر -1 باعث می شود که هر یک از عبارات محاسبه شده در پرانتز برابر 0 شود.

• از فرمول درجه دوم استفاده کنید. اگر نمی توانید به آسانی برای رهگیری x خود معادله خود را حل کنید یا از معادله خود استفاده کنید ، از یک معادله ویژه به نام فرمول درجه دوم استفاده کنید که برای همین منظور طراحی شده است. اگر قبلاً نیست ، معادله خود را وارد ax form کنید² + bx + c ، سپس a ، b و c را به فرمول x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. توجه داشته باشید که این اغلب دو پاسخ برای x به شما می دهد ، که خوب است - این بدان معناست که parabola شما دو x قطع دارد. برای نمونه به تصویر زیر مراجعه کنید:

  • -5 برابر² + 1x + 10 به صورت زیر به فرمول درجه دوم متصل می شود:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) و (-15.18/-10). رهگیری x سهمی در x = x است - 1.318 و 1.518
  • مثال فرم استاندارد قبلی ما ، 2 برابر² + 16x + 39 به صورت زیر به فرمول درجه دوم متصل می شود:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • از آنجا که یافتن ریشه مربع یک عدد منفی غیرممکن است ، ما این را می دانیم بدون رهگیری برای این سهمی خاص وجود دارد

مرحله 9. در صورت لزوم ، رهگیری y را پیدا کرده و رسم کنید

اگرچه اغلب نیازی به پیدا کردن فاصله y معادله نیست (نقطه ای که در آن parabola از محور y عبور می کند) ، اما در نهایت ممکن است از شما خواسته شود ، به خصوص اگر در مدرسه هستید. این فرآیند نسبتاً آسان است - فقط x = 0 را تنظیم کنید ، سپس معادله خود را برای f (x) یا y حل کنید ، که مقدار y را به شما می دهد که در آن سهمی شما از محور y عبور می کند. برخلاف x رهگیری ، parabolas های استاندارد فقط می توانند یک y قطع کنند. توجه - برای معادلات فرم استاندارد ، قطع y در y = c است.

• به عنوان مثال ، ما معادله درجه دوم خود را 2 برابر می دانیم² + 16x + 39 دارای y قطع در y = 39 است ، اما همچنین می توان آن را به صورت زیر پیدا کرد:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. قطع y پارادولا در at است y = 39

    همانطور که در بالا ذکر شد ، قطع y در y = c است.

• راس ما معادله 4 (x - 5) را تشکیل می دهد² + 12 دارای یک قطع y است که به صورت زیر یافت می شود:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. قطع y پارادولا در at است y = 112

مرحله 10. در صورت لزوم ، نقاط اضافی را ترسیم کنید ، سپس نمودار کنید

اکنون باید یک راس ، جهت ، x قطع (ها) و احتمالاً یک قطع y برای معادله خود داشته باشید. در این مرحله ، شما یا می توانید با استفاده از نکاتی که به عنوان راهنما در نظر گرفته اید ، Parabola خود را ترسیم کنید ، یا می توانید نقاط بیشتری برای "پر کردن" Parabola خود پیدا کنید تا منحنی که ترسیم می کنید دقیق تر باشد. ساده ترین راه برای انجام این کار این است که چند مقدار x را در دو طرف راس خود وصل کنید ، سپس این نقاط را با استفاده از مقادیر y به دست آورید. اغلب ، معلمان از شما می خواهند که قبل از کشیدن سهمیه خود ، تعداد مشخصی امتیاز کسب کنید.

• بیایید معادله x را دوباره مرور کنیم² + 2x + 1. ما در حال حاضر می دانیم که تنها رهگیری آن در x = -1 است. از آنجا که فقط در یک نقطه به رهگیری x دست می زند ، می توانیم استنباط کنیم که راس آن رهگیری x آن است ، به این معنی که راس آن (-1 ، 0) است. ما به طور م onlyثر فقط یک نکته برای این سهمیه داریم - تقریباً برای رسم یک سهمیه خوب کافی نیست. بیایید چند مورد دیگر را برای اطمینان از ترسیم نمودار دقیق پیدا کنیم.

  • بیایید مقادیر y را برای مقادیر x زیر بیابیم: 0 ، 1 ، -2 و -3.
  • برای 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. نقطه ما این است (0, 1).

  • برای 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. نقطه ما این است (1, 4).

  • برای -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. نقطه ما این است (-2, 1).

  • برای -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. نقطه ما این است (-3, 4).

  • این نقاط را روی نمودار رسم کرده و منحنی U شکل خود را ترسیم کنید. توجه داشته باشید که parabola کاملاً متقارن است - هنگامی که نقاط شما در یک طرف parabola بر روی اعداد کامل قرار دارند ، معمولاً می توانید با بازتاب یک نقطه معین در محور تقارن Parabola برای پیدا کردن نقطه متناظر در طرف دیگر ، در کار خود صرفه جویی کنید. از Parabola

ویدئو - با استفاده از این سرویس ، ممکن است برخی از اطلاعات با YouTube به اشتراک گذاشته شود

نکات

• توجه داشته باشید که در f (x) = ax² + bx + c ، اگر b یا c برابر صفر باشد ، آن اعداد ناپدید می شوند. به عنوان مثال ، 12 برابر² + 0x + 6 12x می شود² + 6 زیرا 0x 0 است.
• اعداد را گرد کنید یا از کسری استفاده کنید که معلم جبر به شما می گوید. این به شما کمک می کند تا معادلات درجه دوم خود را به درستی ترسیم کنید.